Максим Олександрович народився в смт Ківшарівка Куп’янського району Харківської області. З 1995 року навчався в Ківшарівській загальноосвітній школі № 11, а з 2004 року - в Ківшарівській загальноосвітній школі № 12. Потім продовжив навчання в Кіровському юридичному ліцеї РФ, де здобув спеціальність юриста. В 2012 році повернувся до рідної домівки в смт Ківшарівка. 

З 2012 року пройшов підготовку в навчальному центрі підготовки молодших спеціалістів ДПСУ, у тому ж році прийшов служити до окремого відділу прикордонної служби Східного регіонального управління.

З 2 липня 2014 року молодший інспектор прикордонної служби – навідник-оператор відділення спеціальної техніки Окремого відділу прикордонної служби Східного регіонального управління Державної прикордонної служби України з місцем дислокації м. Харків молодший сержант Закопайло Максим Олександрович виконував службово-бойові завдання у складі зведеного загону ТУ “Північ” у районі зосередження н. п. Юганівка.  Під час служби здійснював рейдові дії в складі збільшених прикордонних нарядів, супроводжував колони та забезпечував пересування окремих підрозділів на ділянці відповідальності відділу прикордонної служби “Станочно-Луганське” Луганського прикордонного загону. Практично щоденно перебував під артилерійсько-мінометними обстрілами з боку Російської Федерації та брав неодноразово участь у бойових зіткнення з терористичними угрупованнями.

16 липня 2014 року о 15.40 у складі спільного прикордонного наряду “розвідувально-пошукова група” від зведеного загону ТУ “Північ” та батальйонно-тактичної групи Збройних Сил України, у складі 21 особи (9 військовослужбовців Державної прикордонної служби України на одному БТР та трьох автомобілях УАЗ та 12 військовослужбовців Збройних Сил України на автомобілі “Урал”) виконував завдання з охорони та оборони державного кордону України. Рухаючись за маршрутом н. п. Юганівка – блокпост у районі н. п. Ільїнка – н. п. Сизе за 2 км до н. п. Сизе в лісосмузі прикордонний наряд потрапив у засідку, влаштовану терористами. Склад прикордонного наряду спішився та прийняв бій з бандитами, які вели інтенсивний вогонь зі снайперської та автоматичної стрілецької зброї. Близько 16.00 у нерівному бою з терористами смертельне поранення обірвало життя молодшого сержанта Закопайла М. О. 

За особисту мужність і героїзм, виявлені у захисті державного суверенітету та територіальної цілісності України, Указом Президента України від 26.07.2014 № 619/2014 молодший сержант Закопайло Максим Олександрович нагороджений орденом “За мужність” ІІІ ступеня (посмертно). 

Похований молодший сержант Закопайло М. О. на кладовищі в селі Ківшарівка Куп’янського району Харківської області, де проживають його рідні.