Максим Андрійович народився 23 червня 1999 року у селі Сінне Богодухівського району Харківської області. Після закінчення школи вступив до Харківського національного університету внутрішніх справ. 

В червні 2024 року Максим Андрійович вирішив змінити свою цивільну професію на військову справу, призвавшись Богодухівським районним територіальним центром комплектування та соціальної підтримки Харківської області на військову службу під час мобілізації, на особливий період до лав Державної прикордонної служби України. 

Військовослужбовець стійко і мужньо виконував усі поставлені завдання, приймаючи безпосередню участь в обороні Харківської області. Був здатний аналізувати службові ситуації, розв’язувати проблеми або ситуації, які виникають в ході виконання бойових завдань. Постійно працював над удосконаленням своїх знань і практичних навичок. В кризових ситуаціях розбирався впевнено, своєчасно обирав необхідні та оптимальні шляхи розв’язання проблем. В екстремальних ситуаціях своєчасно приймав доцільні рішення. Під час виконання складних завдань проявляв майстерність та  незвичайний підхід для вирішення поставлених наказів.

З липня 2023 року по квітень 2025 року молодший сержант Ольховський Максим Андрійович виконував бойові завдання на ділянці 5 прикордонного загону спільно з військовослужбовцями 82 окремого батальйону 105 окремої бригади територіальної оборони, виявляючи особисту мужність та відвагу.

13 квітня 2025 року група прикордонників, до складу якої входив молодший сержант Ольховський Максим Андрійович, висунулася у пішому порядку з н.п. Відродженівське, що на Харківщині у напрямку позиції відділення «Бук» з подальшим продовженням руху до позиції відділення «Пежо». Під час руху противником було здійснено скидання двох невідомих вибухових пристроїв з безпілотного літального апарату. В результаті обстрілу Максим Андрійович отримав поранення, несумісні з життя.

Максим був єдиним сином у батьків. Захисник багато чого не встиг у житті. Не встиг створити родину, побудувати власну справу, здійснити мрії, але встиг віддати своє життя за Україну, за свободу і мир для кожного з нас. У свої 25 років Максим став символом мужності, гідності й справжнього патріотизму.

15 квітня 2025 року молодшого сержанта Ольховського Максима було поховано на рідній землі на  кладовищі села Сінне Богодухівського району Харківської області.

За виявлені у захисті державних інтересів особисті мужність та відвагу, зміцнення обороноздатності та безпеки України, самовіддану службу та героїзм, виявлені під час виконання бойових завдань із захисту територіальної цілісності держави, молодший сержант Ольховський Максим Андрійович нагороджений медаллю «Захиснику Вітчизни» (посмертно).