Народився Мягкий Антон Олександрович 18 серпня 1992 року в с. Тихоновичі Щорського району Чернігівської області. Закінчив Конотопське вище професійне училище у 2011 році.

Згодом призвався на військову службу дл Державної прикордонної служби України.

За час проходження військової служби майстер-сержант Мягкий Антон Олександрович зарекомендував себе відданим Українському народові військовослужбовцем, вірним конституційному обов’язку та справі охорони державного кордону. З любов’ю ставився до Батьківщини, поважав та дотримувався традицій українського народу та Державної прикордонної служби України. 

За сумлінне ставлення до виконання службових обов’язків, високу компетентність   військовослужбовець   користувався   заслуженим   авторитетом. 

Своєю чесністю і порядною поведінкою був і залишається прикладом для всього персоналу відділу прикордонної служби.

24 лютого цього року майстер-сержант Антон Мягкий був одним із тих прикордонників, які першими прийняли бій з російськими військами. 

28 березня близько 07.40 при черговому виконанні бойового завдання по обороні підступів до м. Чернігів під час руху на службовому транспортному засобі до місця несення служби група військовослужбовців прикордонного наряду потрапила в засідку диверсійно-розвідувальної групи російської федерації. В результаті тяжких боїв з ворогом, який застосував протитанкову та крупнокаліберну зброю, майстер-сержант Антон Мягкий отримав поранення, несумісне з життям.

За мужність, відвагу та самовідданні дії, проявлені під час виконання службово-бойових завдань із забезпечення захисту державного кордону та територіальної цілісності України, майстер-сержанта Мягкого Антона Олександровича нагороджено орденом «За мужність» ІІІ ступеня (посмертно).